Trường F {\displaystyle F} là đóng đại số khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:
Mọi đa thức p ( x ) {\displaystyle p(x)} có bậc n {\displaystyle n} ≥ 1 {\displaystyle 1} , với hệ số trong F {\displaystyle F} phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính, nghĩa là tồn tại các phần tử k {\displaystyle k} , x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , …, x n {\displaystyle x_{n}} của trường F {\displaystyle F} sao cho
p ( x ) = k ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ) . {\displaystyle p(x)=k(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n}).\,}
Trường F {\displaystyle F} không có mở rộng đại số thực sự.
Mọi hàm hữu tỷ của một biến x {\displaystyle x} , với hệ số trong F {\displaystyle F} , có thể viết như tổng của các hàm đa thức của các hàm hữu tỷ dạng a / ( x − b ) n {\displaystyle a/(x-b)^{n}} , trong đó n {\displaystyle n} là số tự nhiên, và a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} là các phần tử của F {\displaystyle F} .
